Chào mừng các bạn đến với Website của trường THPT Ngọc Lặc - Welcome to Ngoc Lac High School

Hình học 10 Bài 3: Tích của vectơ với một số.

Ngày đăng: Chưa cập nhật

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa của một vectơ và một số

Xem hình vẽ minh họa và ta có các nhận xét sau:

Xét hai vectơ 

 và 

 ta nhận thấy rằng:

Chúng có giá song song với nhau và cùng hướng, độ lớn về chiều dài của 

 gấp 2 lần độ lớn chiều dài của 

Lúc đó, ta viết rằng: 

Xét đến hai vectơ 

 và 

 ta có nhận xét:

Chúng có giá song song và ngược hướng, độ lớn về chiều dài của 

 gấp 3 lần độ lớn chiều dài của 

Lúc đó, ta viết rằng: 

Định nghĩa:

Tích của vectơ 

 với số thực k là một vectơ, kí hiệu là 

, được xác định như sau:

  • Nếu 

 thì vectơ  cùng hướng với vectơ   thì vectơ  ngược hướng với vectơ   bằng 

  • .

1.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số

1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Chúng ta cùng xem qua hình ảnh sau:

Một cách tổng quá, ta có:

Vectơ 

 cùng phương với vectơ  khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho 

Ứng dụng vào ba điểm thẳng hàng:

Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho 

1.4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

Dựa vào hình trên, ta có định lí sau:

Cho hai vectơ không cùng phương 

 và . Khi đó mọi vectơ  đều có thể hiển thị một cách duy nhất qua hai vectơ  và 

, nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao cho:

Bài tập minh họa

 
 

Bài 1: 

Cho tam giác OAB vuông cân với 

. Tính độ dài của các vectơ 

Hướng dẫn:

Do tam giác OAB vuông cân tại O có cạnh là a. Dễ dàng tính được 

 theo quy tắc hình bình hành, 

Độ lớn của 

=

Tương tự, ta tính 

Nhận thấy rằng 

Theo quy tắc hình bình hành và theo hình vẽ, ta có 

Độ lớn của 

 theo định lý Pytago.

Bài 2: 

Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có hệ thức: 

Hướng dẫn:

Đề yêu cầu cần chứng minh 

Ta viết lại: 

Bài 3: 

Cho hình chữ nhật có 

. Tính 

.

Hướng dẫn:

Như hình trên, chúng ta có thể viết lại như sau:

Vậy 

Bằng Pytago, ta dễ dàng tính toán được 

Bài 4: 

Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc đoạn BC sao cho 

. Chứng minh rằng: 

Hướng dẫn: 

Theo giả thiết, 

.

Trên AB lấy điểm D sao cho 

, trên AC lấy điểm E sao cho 

Vậy, theo đề được viết lại như sau: 

Cần chứng minh ADME là hình bình hành.

Thật vậy, với tỷ lệ đề cho, ta tìm được các cặp cạnh đối song song nhờ định lí Thales đảo.

Vậy: 

 hay ADME là hình bình hành

Nên 

.

  • .
  • Nếu 
  • .
  • Độ dài của vectơ